집합 V의 원소를 벡터, 체(field) F의 원소를 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈에 대해 닫혀있는 스칼라라고 하면,
벡터스페이스(Vector Space)는 F의 상에서 아래의 2개의 이항연산과 8개의 공리로 정의되는 집합 V이다.
이항연산
1.벡터 합(vector addition)
임의의 벡터 v, w 의 벡터 합 v+w는 집합 V에 속한다.
2.스칼라 곱(scalar multiplication)
임의의 벡터 v ∈ V와 체 F의 원소 스칼라 a의 스칼라 곱 av는 집합 V에 속한다.
공리
임의의 벡터 u, v, w ∈ V와 체 F의 임의의 스칼라 a, b에 대하여
1.결합법칙(Associativity of addition)
u + (v + w) = (u + v) + w
2.교환법칙(Commutativity of addition)
u + v = v + u
3.덧셈에 대한 항등원(Identity element of addition)
모든 v ∈ V에 대하여 v + 0 = v를 만족하는 0을 영벡터(zero vector)라 한다.
4.덧셈에 대한 역원(Inverse elements of addition)
모든 v ∈ V에 대하여 v + (−v) = 0를 만족하는 −v ∈ V를 말한다..
5.벡터합에 대하여 스칼라 곱의 분배법칙(Distributivity of scalar multiplication with respect to vector addition)
a(u + v) = au + av
6.스칼라의 합의 대하여 스칼라 곱의 분배법칙(Distributivity of scalar multiplication with respect to field addition)
(a + b)v = av + bv
7.스칼라 곱의 결합법칙(Compatibility of scalar multiplication with field multiplication)
a(bv) = (ab)v
8.스칼라 곱의 항등원(Identity element of scalar multiplication)
1v = v1 = v를 만족시키는 1을 체 F에 속하는 스칼라 곱의 항등원이라 한다.
벡터라는 개념을 쓰게 되면서 기존에 쓰던 공간에 대해서 새로운 정의가 필요하게 되었는데 그게 바로 벡터스페이스이다.
기존에 쓰던 체(field)라는 개념에 벡터를 자유롭게 사용하기 위해 이항연산과 공리를 정의했다.